El misterioso número que ha intrigado a matemáticos durante 70 años

6174 parece un número cualquiera, salido del aire, sin ninguna credencial para la fama. Sin embargo, lleva intrigando a matemáticos y entusiastas de la teoría de los números desde 1949.

¿Por qué?

Pues mira esto tan curioso.

1. Elije cualquier número de cuatro dígitos que esté formado por al menos dos dígitos diferentes, incluido cero, por ejemplo 1234

2. Organiza los dígitos en orden descendente, lo que en nuestro ejemplo quedaría 4321

3. Ahora, organiza el número en orden ascendente: 1234

4. Resta el número más pequeño del número más grande: 4321 – 1234

5. Y ahora repite los tres últimos pasos

Vamos a hacerlo:

• 4321 – 1234 = 3087

entonces organizamos los dígitos de 3087 en orden descendente y queda 8730, y en orden ascendente, 0378, y restamos:

• 8730 – 0378 = 8352

nuevamente, organizamos los dígitos del resultado 8352, y los restamos:

• 8532 – 2358 = 6174

Una vez más, en orden descendente -7641- y ascendente -1467-, y restamos:

• 7641 – 1467 = 6174

Como verás, de aquí en adelante no vale la pena seguir, pues sólo repetiríamos la misma operación.

Tratemos con otro número. ¿Qué tal 2005?:

• 5200 – 0025 = 5175
• 7551 – 1557 = 5994
• 9954 – 4599 = 5355
• 5553 – 3555 = 1998
• 9981 – 1899 = 8082
• 8820 – 0288 = 8532
• 8532 – 2358 = 6174
• 7641 – 1467 = 6174

Resulta que no importa con cuál número comiences, siempre llegas a 6174 y a partir de entonces, la operación se repite, con el mismo resultado una y otra vez: 6174.

Un adicto

A esto se le conoce como la Constante de Kaprekar pues quien descubrió la misteriosa belleza de 6174 y la presentó en la Conferencia Matemática de Madrás en 1949 fue Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), un adicto confeso de la teoría de los números.

“Un borracho quiere seguir bebiendo vino para permanecer en ese estado placentero. Lo mismo ocurre conmigo en lo que respecta a los números“, solía decir…

Kaprekar fue un maestro de escuela en una pequeña población india llamada Devlali o Deolali y a menudo era invitado a hablar en otros colegios sobre sus singulares métodos y sus fascinantes observaciones numéricas.

Sin embargo, varios matemáticos indios se reían de sus ideas, calificándolas de triviales.

Quizás lo son: hay que apuntar que, a pesar de ser tan sorprendente que nos lleva a esperar que oculte un gran teorema en la teoría de números, al menos hasta ahora, la constante de Kaprekar no ha revelado nada por el estilo.

El que ríe de último…

Como no todo tiene que ser útil para ser atractivo, divertido e interesante, Kaprekar se hizo conocido dentro y fuera de India pues a muchos otros matemáticos sus ideas les parecieron intrigantes.

Y como él, siguieron jugando con sus números.

Yutaka Nishiyama, de la Universidad de Economía de Osaka, Japón, por ejemplo, cuenta en la revista +plus que usó una computadora para ver si había un número limitado de pasos para llegar a 6174.

Tras verificar estableció que el máximo número de pasos era 7, es decir que si no llegas a 6174 después de usar la operación de Kaprekar siete veces, has cometido un error en tus cálculos y debes intentarlo de nuevo.

En otras exploraciones se descubrió que el mismo fenómeno ocurre cuando en vez de empezar con números de cuatro dígitos empiezas con los de tres.

Intentémoslo con el número 574:

• 754 – 457 = 297
• 972 – 279 = 693
• 963 – 369 = 594
• 954 – 459 = 495
• 954 – 459 = 495

Como ves, el número mágico en este caso es 495.

Y no, no pasa en otros casos: sólo cuando empiezas con números de tres o cuatro dígitos (al menos de 2 a 10 dígitos, que es lo que se ha comprobado).

6174 en tecnicolor

Entre tanto, en India, la empresa sin fines de lucro Scigram Technologies Foundation, que está desarrollando una “Plataforma de Aprendizaje Computacional” especialmente para las escuelas rurales y tribales, tomó el 6174 y lo convirtió en las tres coloridas ilustraciones que adornan este artículo de aquí en adelante.

El cofundador Girish Arabale le explicó a BBC Mundo que lo que siempre buscan es inspirar especialmente a los niños de la escuela que generalmente odian las matemáticas, mostrándoles lo que llaman “momentos ¡Ajá!” para motivarlos.

“La constante Kaprekar 6174 es uno de esos hermosos números y los pasos que conducen a su descubrimiento crean un momento ‘¡Ajá!’ que generalmente falta en los currículos de matemáticas tradicionales”.

Entonces, le asignaron un color a cada cantidad de pasos requeridos para llegar a 6174 (acuérdate que eran máximo 7 pasos):

…escribieron un código que se puede recrear fácilmente en una Raspberry Pi (la computadora que es una herramienta popular en la educación STEM) en un idioma Wolfram, que está disponible gratuitamente en Raspberry Pi…

… y ejecutaron el programa para cada uno de los 10.000 números de 4 dígitos que existen, creando patrones con los pasos que conducen al número 6174 dispuestos en una cuadrícula con los diferentes colores.

Matemáticas recreativas

La constante de Kaprekar no fue la única contribución de ese apasionado por los números a las matemáticas recreativas.

Entre su colección de ideas también está el número Kaprekar.

Es un número con la propiedad interesante de que si está al cuadrado, al sumar dos partes iguales del resultado, te da el número original. Esa operación es la operación de Kaprekar.

Para aclarar, un ejemplo.

297² = 88.209 y 88 + 209 = 297

Algunos ejemplos más de números de Kaprekar son: 9, 45, 55, 703, 17.344, 538.461… ¡pruébalos y verás!

Recuerda: al dividir el número cuyas partes vas a sumar, deja la parte más larga a la derecha (en el ejemplo, al dividir en dos 88209 te quedan obligatoriamente dos grupos: uno con dos dígitos y otro con tres, por eso, siguiendo las indicaciones, al separarlo quedan 88 y 209 y no 882 y 09).